Thursday, 23 February 2012

Materi Persamaan kuadrat

Update : Rabu, 28/08/2019

 

 

 

Table Of Content

A. Pengertian
     A.1.Bentuk Umum :
     A.2.Nilai Diskriminan
     A.3.Soal dan  Bahas
     A.4.Video
B. Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
     B.1.Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
         B.1.1.Pemfaktoran
         B.1.2.Kuadrat Sempurna
         B.1.3.Rumus ABC/Al Khawarizmi
    B.2.Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
C. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
    C.1. Akar Real
         C.1.1.Akar Real Berbeda
         C.1.2.Akar Real Sama
    C.2. Akar Imajiner
D. Operasi Akar Persamaan Kuadrat
    D.1.Dasar 
    D.2.Lanjutan
E. Hubungan Dua Akar Persamaan Kuadrat
     E.1. Dua Akar Real Positif
F. Menyusun Persamaan Kuadrat
G. Akar-akar Persekutuan Dua Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat Satu Variabel (Persamaan Kuadrat)


A. Pengertian

Persamaan Kuadrat Satu Variabel atau sering disebut persamaan kuadrat adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan dan memiliki satu variabel yang salah satu variabelnya berpangkat dua.

A.1.Bentuk Umum :

Persamaan Kuadrat dalam bentuk umumnya ditulis sebagai

    ,  

dengan x variabel dan a,b,c konstanta

Nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat disebut himpunan penyelesaian atau sering disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

A.2.Diskriminan (D) : 

Diskriminan persamaan kuadrat disimbolkan dengan D, adalah nilai tertentu suatu persamaan kuadrat yang memenuhi D = b^2 - 4ac. Diskriminan ini dipakai untuk menentukan jenis akar dan nilai akar dengan rumus abc (rumus Al -Khawarizmi)


A.3.Soal 1
Berdasarkan bentuk umum persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0, tentukanlah nilai a,b, c dan D dari persamaan kuadrat berikut ini
1. x^2 - x + 4 = 0 ⇾ a =1
                                 b =-1
                                 c =4
                                 D =(-1)^2-41.4=1-16=-15

2. -2x^2 + 3x - 5 = 0 ⇾ a =-2
                                      b =3
                                      c =-5
                                     D =3^2-4.(-2)(-5)=9-40=-31

3. px^2 - (p + 1)x - (p - 2) = 0 ⇾ a =p
                                                     b =-(p+1)=-p-1
                                                     c =-(p-2)=-p+2
                                                    D =(-p-1)^2-4.p.(-p+2)=p^2+2p+1+4p^2-8p=5p^2-6p+1

A.4.lihat video di sini

  

B. Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

B.1.Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat adalah mencari nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat atau mencari nilai akar-akar persamaan kuadrat tersebut

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu :

1. Pemfaktoran atau memfaktorkan
    Cara ini dapat dilakukan apabila nilai diskriminan adalah bilangan kuadrat (D = p^2)
    Dari bentuk umum persamaan kuadrat dirubah menjadi bentuk faktornya, yaitu :
 
    ax^2 + bx + c = 0
    (x - m)(x - n)  = 0
    x - m = 0 atau x - n = 0
         x = m atau       x = n

    Contoh dibawah ini adalah contoh dengan nilai a = 1:
    1. x^2 - 1x - 6 = 0
        Jawab :
        Perkalian dua bilangan menghasilkan angka 6 :
                 6x1
                 3x2
        Selisih (karena tanda c negatif, jadi selisih ) dua bilangan  hasilnya
        angka 1 (angka warna biru), dari dua pilihan diatas yang
        dipilih adalah
                 3x2
                 sebab 3 - 2 = 1
        dapat ditulis sebagai berikut
        (x    3)(x   2) = 0
        selanjutnya menentukan tanda positif atau negatif angka 3 dan
        angka 2.  Dari angka dua dan tiga, angka yang paling besar adalah
        angka 3, tanda pada angka yang paling besar mengikuti tanda "b"
        bentuk umum, yaitu negatif
        (x - 3)(x    2) = 0
        selanjutnya untuk menentukan tanda angka dua, yaitu dengan cara
        kalikan tanda b (negatif) dengan tanda c (negatif) bentuk umum,
        dengan hasil positif
        (x - 3)(x + 2) = 0
        selanjutnya, dua angka jika dikalikan hasilnya nol berarti angka pertama
        sama dengan nol atau angka kedua sama dengan nol, dpt ditulis sebagai
        berikut
        x - 3 = 0 atau x + 2 = 0
        selanjutnya, angka dipindah keruas kanan, dapat ditulis sebagi berikut
        x = 3 atau x = - 2
        selanjutnya angaka 3 atau - 2 disebut sebagai akar-akar persamaan
        kuadrat x^2 - x - 6 = 0


    2. x^2 - 5- 6 = 0
        Jawab :
        Perkalian dua bilangan menghasilkan angka 6 :
                 6x1
                 3x2
        Selisih (karena tanda c negatif, jadi selisih ) dua bilangan  hasilnya
        angka 5 (angka warna biru), dari dua pilihan diatas yang
        dipilih adalah
                 6x1
                 sebab 6 - 1 = 5
        dapat ditulis sebagai berikut
        (x    6)(x   1) = 0
        selanjutnya menentukan tanda positif atau negatif angka 6 dan
        angka 1.  Dari angka enam dan satu, angka yang paling besar adalah
        angka 6, tanda pada angka yang paling besar mengikuti tanda "b"
        bentuk umum, yaitu negatif
        (x - 6)(x    1) = 0
        selanjutnya untuk menentukan tanda angka satu, yaitu dengan cara
        kalikan tanda b (negatif) dengan tanda c (negatif) bentuk umum,
        dengan hasil positif
        (x - 6)(x + 1) = 0
        selanjutnya, dua angka jika dikalikan hasilnya nol berarti angka pertama
        sama dengan nol atau angka kedua sama dengan nol, dpt ditulis sebagai
        berikut
        x - 6 = 0 atau x + 1 = 0
        selanjutnya, angka dipindah keruas kanan, dapat ditulis sebagi berikut
        x = 6 atau x = - 1
        selanjutnya angaka 6 atau - 1 disebut sebagai akar-akar persamaan
        kuadrat x^2 - 5x - 6 = 0
       
    3. x^2 - 5x + 6 = 0
        Jawab :
        Perkalian dua bilangan menghasilkan angka 6 :
                 6x1
                 3x2
        Jumlah (karena tanda c positif, jadi jumlah ) dua bilangan  hasilnya
        angka 5 (angka warna biru), dari dua pilihan diatas yang
        dipilih adalah
                 3x2
                 sebab 3 + 2 = 5
        dapat ditulis sebagai berikut
        (x    3)(x   2) = 0
        selanjutnya menentukan tanda positif atau negatif angka 3 dan
        angka 2.  Dari angka tiga dan dua, angka yang paling besar adalah
        angka 3, tanda pada angka yang paling besar mengikuti tanda "b"
        bentuk umum, yaitu negatif
        (x - 3)(x    2) = 0
        selanjutnya untuk menentukan tanda angka dua, yaitu dengan cara
        kalikan tanda b (negatif) dengan tanda c (positif) bentuk umum,
        dengan hasil negatif
        (x - 3)(x - 2) = 0
        selanjutnya, dua angka jika dikalikan hasilnya nol berarti angka pertama
        sama dengan nol atau angka kedua sama dengan nol, dpt ditulis sebagai
        berikut
        x - 3 = 0 atau x - 2 = 0
        selanjutnya, angka dipindah keruas kanan, dapat ditulis sebagi berikut
        x = 3 atau x = 2
        selanjutnya angaka 3 atau 2 disebut sebagai akar-akar persamaan
        kuadrat x^2 - 5x + 6 = 0

    4. x^2 + 7+ 6 = 0
        Jawab :
        Perkalian dua bilangan menghasilkan angka 6 :
                 6x1
                 3x2
        Jumlah (karena tanda c positif, jadi jumlah ) dua bilangan  hasilnya
        angka 7 (angka warna biru), dari dua pilihan diatas yang
        dipilih adalah
                 6x1
                 sebab 6 + 1 = 7
        dapat ditulis sebagai berikut
        (x    6)(x   1) = 0
        selanjutnya menentukan tanda positif atau negatif angka 6 dan
        angka 1.  Dari angka 6 dan 1, angka yang paling besar adalah
        angka 6, tanda pada angka yang paling besar mengikuti
        tanda "b" bentuk umum, yaitu positif
        (x + 6)(x    1) = 0
        selanjutnya untuk menentukan tanda angka 1, yaitu dengan cara
        kalikan tanda b (positif) dengan tanda c (positif) bentuk umum,
        dengan hasil positif
        (x + 6)(x + 1) = 0
        selanjutnya, dua angka jika dikalikan hasilnya nol berarti angka pertama
        sama dengan nol atau angka kedua sama dengan nol, dpt ditulis sebagai
        berikut
        x + 6 = 0 atau x + 1 = 0
        selanjutnya, angka dipindah keruas kanan, dapat ditulis sebagi berikut
        x = - 6 atau x = - 1
        selanjutnya angaka - 6 atau - 1 disebut sebagai akar-akar persamaan
        kuadrat x^2 + 7x + 6 = 0

        Lihat Video Pemfaktoran klik di sini
    
        

    Latihan :
    1. x^2 -   2x -  24 = 0
    2. x^2 - 10x + 24 = 0
    3. x^2 -   5x -  24 = 0
    4. x^2 - 11x + 24 = 0
    5. x^2 + 25x + 24 = 0

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
    Cara ini dapat dilakukan dengan mengubah bentuk umum persamaan kuadrat 
    ax^2 + bx + c = 0  menjadi bentuk kuadrat sempurna a(x - p)^2 = q
    Dari bentuk umum persamaan kuadrat dengan a = 1 dirubah menjadi bentuk
    kuadrat sempurna, langkah-langkahnya yaitu :
    x^2 + bx + c = 0
    x^2 + bx = - c
    x^2 + bx + (b/2)^2 = - c + (b/2)^2
    (x + b/2)^2 = -c + (b/2)^2
    x + b/2 = (-c + (b^2/4)) atau x + b/2 = -(-c + (b^2/4))
    x = -b/2 + (-c + (b^2/4)) atau x = -b/2 - (-c + (b^2/4))
 
    Contoh
    1. x^2  - x - 6 = 0
        Jawab
        x^2 - x = 6
        x^2 - x + (1/2)^2 = 6 + (1/2)^2
        x^2 - x + 1/4 = 6 + 1/4
        (x - 1/2)^2 = 25/4
        x - 1/2 = +5/2 atau x - 1/2 = -5/2
        x = 1/2 + 5/2  atau  x = 1/2 - 5/2
        x = 6/2           atau  x = -4/2
        x = 3              atau  x = -2
     
        2. x^2 - 2x - 24 = 0
            Jawab
            x^2 - 2x = 24
            x^2 - 2x + (2/2)^2 = 24 + (2/2)^2
            x^2 - 2x + 1 = 24 + 1
           (x - 1)^2 = 25
           x - 1 = 5 atau x - 1 = -5
           x = 6      atau x = -4
     
        Latihan
        1. x^2 -   4x -  12 = 0
        2. x^2 - 10x + 24 = 0
        3. x^2 +  6x +  8 = 0
    
    3. Rumus abc atau rumus Al-Khawarizmi
        Cara ini dapat dilakukan dengan mencari nilai a,b, dan c kemudian 
        nilai akar-akarnya (x1, x2) dapat di cari dengan rumus :

            
       
        Contoh
     
        Lihat video di sini

       
       Latihan




Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah menentukan interval nilai x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat

Langkah-langkah menyelsaikan Pertidaksamaan Kuadrat adalah, sebagi berikut :
1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat. Nilai akar-akar ini sebagai batas-batas interval
2. Buat garis bilangan, tentukan tanda positif atau negatif untuk setiap interval x pada garis bilangan  
3. Pilih interval x yang bertanda sama dengan pertidaksmaan

C. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Suatu persamaan kuadrat dapat diketahui jenis akarnya tanpa perlu menentukan akar-akarnya dengan cara melihat  nilai  diskriminan persamaan kuadrat tersebut. Berikut adalah jenis-jenis akar dilihat dari nilai diskriminan
a. Akar real (Nyata)
         
         a.1. berbeda
             
         a.2. sama
             
b. Akar imajiner (Khayal)
         
     lihat video di sini

D. Operasi Akar Persamaan Kuadrat

 a. rumus dasar
       
      
      
    b. rumus turunannya
       
       
       
       
       
       lihat video klik di sini

E. Hubungan Dua Akar Persamaan Kuadrat

      a. dua akar positif
         
     b. dua akar negatif
         
     c. dua akar berlainan tanda
         
     d. dua akar berlawanan
         
     e. dua akar berkebalikan
          
     lihat video di sini

F. Menyusun Persamaan Kuadrat


     
     lihat video 1 di sini  
     lihat video 2 di sini 

G. Akar-akar Persekutuan Dua Persamaan Kuadrat


     a. memiliki satu akar persekutuan
         eliminasikan 
     b. memiliki dua akar persekutuan
        
        
             
    

0 komentar:

Post a comment

Share

Twitter Delicious Facebook Digg Stumbleupon Favorites More