Materi, soal, dan pembahasan Irisan kerucut berbentuk elips dengan cara mudah

Kemarin sore saya mengajar tentang irisan kerucut berupa elips dan hiperabola dalam waktu 80 menit. Sementara anak - anak kelas 11 IPA belum belajar di sekolah. Dalam waktu yang singkat itu saya hanya meringkas materi elips dan hiperbola secara singkat.
Pada postingan kali ini saya akan memposting tentang elips secara lebih singkat agar mempermudah dalam mempelajarinya

Elips
(1) Elips adalah tempat kedudukan titik - titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap. Jumlah jarak itu = 2a. Kedua titik tetap itu disebut fokos (F) → jarak antara F1 dan F2 adalah 2c.
(2) Elips adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitas) dimana 0 < e = c/a <1
Ttitik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah.
Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips disebut sumbu mayor.
Pusat elips adalah titik tengah F1 dan F2
Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor dan memotong elips disebut sumbu minor
Luas elips = π ab (a = 1/2 panjang horisontal, b = 1/2 panjang vertikal)
Untuk lebih jelasnya di sertai gambar di bawah ini

Contoh 1 : 

x^2 / 25 + y^2/9 = 1

jawab : 

karena yang besar dibawah x^2 berarti elips horisontal

a = 5

b = 3

c = akar (25 - 9) = 4

e = c/a = 4/5

LR = 2b^/a = 2.9/5 = 18/5

a^2/c = 25/4

2a = 2.5 = 10

2b = 2.3 = 6

Persamaan garis singgung di elips jika diketahui gradien m 

(y = mx +/- akar(angka dibwh x^2 + angka dibawah y^2)

untuk soal di atas persamaan garis singgungnya adalah

y = mx +/- akar (25m^2 + 9)

Persamaan garis singgung di elips jika diketahui titik singgung (x1, y1)

x^2  dirubah x.x1

x      dirubah (x + x1)/2

begitu pula untuk variabel y

y^2  dirubah y.y1

y      dirubah (y + y1)/2

gunakan gambar untuk menjawab semua unsur pada elips

Pusat  : (0,0)

Puncak : (5,0), (-5,0), (0,3), dan (0,-3)

Fokus : (4,0) dan (-4,0)

Laktus rektum (LR) = 18/5

Persamaaan direktris :  x = 25/4 dan x = -25/4

Panjang sumbu mayor = 2a = 10

Panjang sumbu minor = 2b = 6

Contoh 2 : 

Persamaan elips dengan pusat O(0,0), puncak (10,0) dan (-10,0) serta salah satu fokusnya (-6,0) adalah...

gunakan gambar untuk mempermudah menjawab

elips horisontal

c^2 = a^2 - b^2

6^2 = 10^2 - b^2

b = akar (100 - 36) = 8

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

x^2/100 + y^2/64 = 1

64x^2 + 100y^2 = 6400

16x^2 + 25y^2 = 1600

Contoh 3 : 

Persamaan garis singgung elips 5x^2 + 20y^2 + 2x - 4y - 104 = 0 dititik (4,1) adalah

Jawab 

5x.x1 + 20y.y1 +2(x + x1)/2 - 4(y + y1)/2 - 104 = 0

5x.4 + 20y.1 + (x + 4) - 2(y + 1) - 104 = 0

20x + 20y + x + 4 - 2y - 2 -104 = 0

21x + 18y - 102 = 0

7x + 6y - 34 = 0

Read More

Pertidaksamaan Linier

Pada postingan kali ini saya akan memposting tentang pertidaksamaan linier dan cara mencari himpunan penyelesaianya. Materi pertidaksamaan linier ini di pelajari kelas 10 SMA. Materi ini pernah keluar di SBMPTN tetapi jarang keluar. Untuk menguasai materi ini sebaiknya dipelajari dahulu materi persamaan linier.

Persamaan linier
Persamaa linier merupakan sebuah persamaan aljabar dimana tiap sukunya mengandung konstata atau perkalian konstanta dengan tanda sama dengan serta variabelnya berpangkat satu.

Bentuk
ax + b = 0, a, b elemen real

Contoh :
2x - 3  = 0
3x + 2 = 0

Bentuk pertidaksamaan linier (tanda = pada persamaan linier diganti >, <, >=, <= )
ax + b > 0, a, b elemen real

Contoh :
2x - 3  > 0
3x + 2 < 0

Cara mencari solusi dari pertidaksamaan linier
ax + b < 0
kumpulakan semua variabel di sebelah kiri, konstanta di sebelah kanan
ax < - b
bagi semua ruas dengan a, a tidak nol
x < - b/a , a > 0 atau x < - b/a, a < 0

Contoh :
4x - 3 > 0
4x > 3
x < 3/4

- 5x + 4 < 2x + 10
- 5x - 2x < 10 - 4
- 7x < 6
x > 6/-7

Itulah materi singkat tentang pertidaksamaan linier. Semoga bermanfaat

Read More

Pertidaksamaan Pecahan

Update : Rabu, 13 September 2017.
Hari Senin, 11 september 2017 saya di tanya oleh murid saya tentang materi pertidaksamaan pecahan. Untuk membantu murid saya atau siapapun pengunjung blog ini maka saya akan memposting tentang materi pertidaksamaan pecahan.


Hal penting untuk menyelesaikan persoalan pertidaksamaan adalah
1. Menentukan positif atau negatif garis bilangan
    silahkan lihat DI SINI
2. Menfaktorkan persamaan kuadrat
    silahkan lihat DI SINI

Pertidaksamaan pecahan

Bentuk 1 :
      Ciri - ciri :
              1. Ruas kanan bernilai nol
              2. Ada unsur pembilang dan penyebut
              3. Antara ruas kanan dan kiri dihubungkan
                  oleh tanda "<, >, ≤, atau  ≥

Misalkan salah satu bentuknya adalah

         

Langkah - langkah penyelesaian
         1. Faktorkan pembilang dan penyebut
         2. Membuat pembuat nol dari f(x) dan g(x)
         3. Membuat garis bilangan
         4. Menentukan himpunan penyelesaianya

Contoh 1 :
Penyelesaian pertidaksamaan

adalah....

Pembahasan :
Karena pembilang dan penyebut sudah menjadi faktor, maka langsung ke langkah 2, yaitu membuat pembuat nol f(x) dan g(x)

x - 1 = 0 atau x - 4 = 0
x = 1              x = 4

Membuat garis bilangan

catatan  : pembilang dihitamkan tapi penyebut tidak dihitamkan





karena dihubungkan dengan tanda  ≥  ( ambil daerah positif pada garis bilangan)

Himpunan penyelesaianya adalah 
x ≤ 1 atau x > 4

Contoh 2 :
Penyelesaian pertidaksamaan

adalah....

Pembahasan
Karena pembilang dan penyebut sudah menjadi faktor, maka langsung ke langkah 2, yaitu membuat pembuat nol f(x) dan g(x)

3 - x = 0 atau 2x + 4 = 0
x = 3  atau  x = - 2     

Membuat garis bilangan

catatan  : pembilang dihitamkan tapi penyebut tidak dihitamkan


karena dihubungkan dengan tanda ≤ ( ambil daerah negatif pada garis bilangan)

Himpunan penyelesaianya adalah 
x ≤ -2 atau x >3

Contoh 3
Penyelesaian pertidaksamaan

adalah....

Pembahasan
Faktorkan penyebut karena bentuk kuadrat, pembilang tetap

Pembuat nol
x - 2 = 0, x - 5 = 0, atau x + 3 = 0
     x = 2,       x = 5,     atau   x = -3
Garis bilangan

Tanda ≥  ( ambil daerah positif )

Himpunan penyelesaian
- 3 < x ≤ 2 atau x > 5

Silahkan Lihat versi VIDEO-1

Contoh 4
Penyelesaian pertidaksamaan

adalah....

Pembahasan

Pembuat nol
x + 2 = 0, x - 1 = 0, x - 4 = 0, atau x + 3 = 0
      x = -2,     x = 1,      x = 4,  atau       x = - 3
Garis bilangan

Himpunan penyelesaian
x < -3 atau x = 2 atau 1 ≤ x < 1
                                                      Silahkan Lihat Versi VIDEO-2
                                                                           atau
                                                      Silahkan Lihat Versi VIDEO-3

Contoh 5
Penyelesaian pertidaksamaan

adalah....

Pembahasan
Faktorkan penyebut karena persamaan kuadrat, pembilang tetap

Penyebut tidak bisa di faktorkan maka harus di cek nilai Diskriminannya.

dari hasil hitungan D < 0 dan a = 1 > 0 berarti definit positif. Pada penyebut wakili dengan positif

Pembuat nol
x - 1 = 0
      x = 1
Garis bilangan

Tanda ≤ ( ambil daerah negatif )

Himpunan penyelesaian
x ≤ 1

Contoh 6
Penyelesaian pertidaksamaan

adalah....

Pembahasan

Pembuat nol
x = 0, x = -3, x = 2
Garis bilangan

Himpunan penyelesaian
x < - 3 atau x > 2 

Silahkan Lihat Versi VIDEO-4.1
atau
Silahkan Lihat Versi VIDEO-4.2

Bentuk 2 :
Ciri - ciri :
              1. Ruas kanan tidak bernilai nol
              2. Ada unsur pembilang dan penyebut
              3. Antara ruas kanan dan kiri dihubungkan
                  oleh tanda "<, >, ≤, atau  ≥

Misalkan salah satu bentuknya adalah

            

Langkah - langkah penyelesaian
         1. Ruas kanan di nol kan
         2. Disamakan penyebut
         3. Sederhanakan pembilang sampai ketemu faktor sedangkan penyebut tetap 
         4. Faktorkan pembilang dan penyebut
         5. Membuat pembuat nol dari f(x) dan g(x)
         6. Membuat garis bilangan
         7. Menentukan himpunan penyelesaianya

Contoh 7 :
Penyelesaian pertidaksamaan


adalah....

Pembahasan
Ruas kanan di nol kan

Disamakan penyebut

Sederhanakan pembilang sampai ketemu faktor sedangkan penyebut tetap

Membuat pembuat nol dari f(x) dan g(x)
- x + 8 = 0 atau x - 2 = 0
         x = 8             x = 2
Membuat garis bilangan

karena dihubungkan dengan tanda ≤ ( ambil daerah negatif pada garis bilangan)

Himpunan penyelesaianya adalah 
x < 2 atau x ≥ 8

Silahkan Lihat Versi VIDEONYA

Read More